Cyril Jovet Guillaume Gourdin

Courbes de Bézier et B-Splines




Introduction:
Les courbes de Bézier et les B-Splines sont des courbes qui ont été mise en place pour palier les insuffisances des courbes d'interpolation. En effet, une courbe obtenue par interpolation de points de contrôles a certains défauts:
  • elle est définie par un polynôme alors qu'il est souvent plus intéressant d'avoir une courbe paramétrique
  • elle pose des problèmes d'explosion numérique (le degré du polynôme augmente proportionellement au nombre de points de contrôle)
  • elle passe par tous les points de contrôles qui la définissent, et elle est donc parfois très accidentée, alors que l'on a parfois besoin d'une courbe définnissant une "allure générale" (notamment lors de mesures physiques)
S'il existe des courbes de Bézier et des B-Splines, le principe de construction est généralisable pour construire des surfaces.

Caractéristiques communes:

Continuité à l'ordre 2: Cette caractéristique est intéressante car elle permet d'utiliser ce type de courbe dans l'image de synthèse et la CAO puisque les courbes sont lisses.

Coordonnées paramétriques: Cette caractéristique est également intéressantes pour le travail informatique car elle facilite grandement la discrétisation des courbes.

Elles ne passent pas par les points de controles: Ces courbes sont beaucoup moins accidentées que celles obtenues par interpolation.

Les courbes de Bézier:

Introduction: Ce type de courbe a été mis en place par P. Bézier alors ingénieur chez Renault. Il cherchait à modéliser numériquement des éléments de carrosseries. Il a du mettre au point une méthode permettant de définir une courbe par un nombre minimal de points caractéristiques (les points de contrôles), permettant également de modifier facilement la courbe par déplacement d'un minimum de points. C'est également lui qui a mis au point les surfaces de Bézier (généralisation des courbes de Bézier pour la dimension supérieure).

Caractéristiques de la courbe:
  • elle passe par le premier et le dernier point de contrôle
  • au premier point de contrôle, elle est tangente au segment reliant le premier et le deuxième point de contrôle. La propriété est analogue pour le dernier point de contrôle
  • le déplacement d'un point de contrôle entraine une modification globale de la courbe
  • les courbes de Bézier n'écartent pas le problème de l'explosion numérique car elles sont définies par un polynôme dont le degré est le nombre de points de contrôle
Construction: Nous avons utilisés la formule littérale des courbes de Bézier qui est la suivante:





Les B-Splines:

Introduction: Les B-Splines tirent leurs noms du mots anglais Spline. Un spline est un outil qu'utilisaient les menuisiers pour dessiner des courbes. Il s'agissait d'une régle souple que l'on déformait en la faisant passer par des points afin d'obtenir la courbe désirée. Les B-Splines mathématiques reprennent cette idée de minimisation de l'énergie de flexion.

Caractéristique de la courbe:
  • elle ne passe par aucun point de contrôle
  • elle est tangente au milieu du segment reliant 2 points de contrôle successifs (seulement si la courbe est de degré 2)
  • le déplacement d'un point de contrôle entraine une modification locale de la courbe
  • il est très facile de fermer la courbe en faisant finir la liste des points de contrôle par les premiers points
Construction: Nous avons utilisé l'algorithme de deBoor: il faut paramétriser le polylignes reliant les points de contrôle de telle sorte que le paramétre vaille 0 au premier de contrôle, 1 au suivant, etc... Ensuite, si on veut calculer la valeur du B-Spline par exemple en u = 2.3, on choisit J = 2 (on prend la partie entière), et on applique l'algorithme suivant pour une courbe de degré n:


Note: Nous avons utilisé des courbes de degré 2, donc notre algorithme ne contient qu'une seule boucle.